LUGARES GEOMÉTRICOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
La Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio. 

CÓNICAS 
La elipse: es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante → d(P, F) + d(P, F´) = constante   

Elementos de una elipse Eje focal a la recta que pasa por los dos focos.
 Eje secundario es la mediatriz del segmento que determinan los focos.
 La elipse es simétrica respecto de ambos ejes.
 Centro es el punto de corte de los dos ejes. 
Los vértices de la elipse A, A´, B, B´ son los puntos de corte de ésta con los ejes. 
El segmento AA´ se llama eje mayor; su valor es 2a. 
El semieje mayor es a. Al segmento BB´ se le llama eje menor. Su valor es 2b. 
El semieje menor es b. 
La distancia entre los focos se llama distancia focal y vale 2c: la semidistancia focal es c. 
La relación entre a, b y c es: a 2 = b2 + c2 


La hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la diferencia de sus distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante. Esto es, si P pertenece a la hipérbola: d(P,F) − d(P,F´) = constante.



La parábola: es el lugar geométrico de los puntos del plano P que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija δ , llamada directriz. Esto es, si P es un unto de la parábola se cumple que: d(P,F) = d(P,δ)  

PROBLEMAS DE ÁREAS Y PERÍMETROS EN EL CÍRCULO

Perímetro y área del círculo

El perímetro de un círculo es llamado circunferencia y se define por:

$C$ = 2 π r = πⅆ

donde r es el radio, d el diámetro y $\pi$ ≈ 3.141592654 . 

$A$ = π r 2 = π ( d2 ) 2

La circunferencia es igual a el perímetro

El área de un círculo con radio r y diámetro d es

TEOREMA DE MEDIANAS

Teorema de Euclides referido a un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene queΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,

entonces

Que es lo mismo que:

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar a,

si c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b

si c = 4 y p = 1

Teorema de Euclides relativo a la altura

“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométricaentre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.

Sea hc  (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)

Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a: 

A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

Por lo tanto,  si   h² = p • q    

entonces             

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar h,

si p = 2 y q = 8

2) En la figura a la izquierda, determinar h,

si p = 3 y q = 12

La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

CONCEPTOS Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

Clasificación de los polígonos según su contorno

Algunos ejemplos de varios tipos de polígono.

Clasificación de los polígonos según la forma de su contorno.
Polígonos Simples Convexos Regulares Irregulares Cóncavos Complejos

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar la siguientes clasificaciones.

• Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
• Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
• Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.
• No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
• Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
• Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
• Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
• Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
• Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
• Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
• Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos  o .
• Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
• Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
• Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).

Teoremas De Ángulos En Polígonos

FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS”.

✿  Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

EJEMPLO:

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.

Suma de ángulos interiores    = 180(n-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(5-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(3)

Suma de ángulos interiores      = 540°.

✿  Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”.

Ángulo interior = 180(n-2)

                               n

EJEMPLO:

• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156°

                                 n                15             15           15

✿  Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360°

                                 n

EJEMPLO:

 • Calcular el ángulo exterior de un triángulo.

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120°

                              n          3

✿  Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n(n-3)

              2

EJEMPLO:

• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular.

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales.

               2             2          2       2

Teoremas Para El Cálculo De Angulos Y Diagonales De Los Poligonos

Propiedades de los polígonos regulares

Polígono

Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Regular

Un "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Si no, es irregular.

Pentágono regular	Pentágono irregular

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°. Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45° El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales(líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados). El número de diagonales es n(n - 3) / 2. Ejemplos: un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales (Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

Formulario De Polígonos

Teoremas Relacionados Con Ángulos Interiores Y Exteriores En La Circunferencia.

1 Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

4 Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella: